1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №8. Сфера и шар

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
  • что такое шар и его элементы;
  • уравнение сферы;
  • формула для нахождения площади поверхности сферы;
  • взаимное расположение сферы и плоскости;
  • теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.

Глоссарий по теме:

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

– уравнение сферы радиуса R и центром С(x; y; z).

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сферу можно получить ещё одним способом — вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

Читать еще:  Как понять что ты любишь человека? Любовь или привязанность

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x; y; z) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

.

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x; y; z).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR 2 – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь круга вычисляется по формуле: Sкр=πR 2 .

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: Sсф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Площадь сферы равна Sсф=4πR 2 . То есть Sсф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

С другой стороны, S=p·r.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Читать еще:  М днем свадьбы. Красивые поздравления на свадьбу молодым

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.

Презентация по геометрии (11 класс) на тему «Касательная плоскость к сфере»

Курс повышения квалификации за 340 рублей!

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

Касательная плоскость к сфере.

1. Какие фигуры могут получиться на сфере в результате сечения плоскостью?

2. Что можно сказать про расстояние от центра сферы до каждой точки фигуры, получившейся на сфере в результате сечения плоскостью? Может ли быть сечение сферы эллипсом?

3. Какие фигуры могут получиться в шаре в результате сечения плоскостью?

4. Что можно сказать про расстояние от центра шара до каждой точки фигуры, получившейся в шаре после сечения плоскостью?

5. Расскажите свойство касательной к окружности ,

Вопросы и задания.

1. Что можно сказать про плоскость и сферу, если R = d ?

Плоскость и сфера касаются в одной точке.

Определение. Если плоскость имеет со сферой только одну общую точку, то её называют касательной плоскостью к сфере . Общую точку называют точкой касания сферы и плоскости.

2. Что называется расстоянием от точки пространства до плоскости? Сделайте рисунк в тетрадях.

3. Чем является расстояние от центра сферы до точки касания этой сферы и плоскости?

Действительно, отрезок, соединяющий центр сферы и точку касания, является одновременно и радиусом сферы, и расстоянием от её центра до касательной, плоскости. Значит, он перпендикулярен к этой плоскости.

4. Попробуйте сформулировать свойство касательной плоскости к сфере.

Теорема. Радиус сферы, проведенной в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

5. Попробуйте доказать теорему методом от противного.

Существует обратная теорема.

Теорема. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Докажите теорему самостоятельно в тетрадях.

Домашнее задание: п. 64 — 67, вопросы 7 — 9 к главе 6.

Задача в прикрепленном файле

Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

Презентация к уроку создана в текстовом редакторе, который очень быстро запускается на любом компьютере (даже второго поколения). Рисунок создан самостоятельно. Определение понятия и теоремы взяты из учебника Геометрия 10-11 классы. Вопросы и задания составлены самостоятельно. С помощью заданий учащиеся должны провести перенос знаний о свойствах касательной из планиметрии в стереометрию. Доказательство прямой теоремы ученики проводят с помощью учителя, опираясь на материал предыдущего урока. Задача для домашнего задания скопирована из поурочных разработок по геометрии 11 класс, В.А. Яровенко.

  • Твеленев Алексей Петрович
  • Написать
  • 1314
  • 29.11.2018

Номер материала: ДБ-266404

Международные дистанционные олимпиады «Эрудит III»

Доступно для всех учеников
1-11 классов и дошкольников

Рекордно низкий оргвзнос

по разным предметам школьной программы (отдельные задания для дошкольников)

Идёт приём заявок

  • 26.11.2018
  • 370
  • 22.11.2018
  • 186
  • 22.11.2018
  • 926
  • 21.11.2018
  • 140
  • 21.11.2018
  • 146
  • 19.11.2018
  • 455
  • 16.11.2018
  • 276
  • 12.11.2018
  • 341

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Читать еще:  Иск мировому судье о расторжении брака. Образец заявления на развод в загс

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Касательная плоскость к сфере Урок 25 По данной теме урок 3 Классная работа 23.07.2015. — презентация

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемИнна Березникова

Похожие презентации

Презентация на тему: » Касательная плоскость к сфере Урок 25 По данной теме урок 3 Классная работа 23.07.2015.» — Транскрипт:

1 Касательная плоскость к сфере Урок 25 По данной теме урок 3 Классная работа

2 п. 64 – 67, изучить п , 576, 578

3 Проверка домашнего задания I ученик: вывод уравнения сферы II ученик: 581 III ученик: 586(б) IV ученик: Что называется сферой? 2. Что называют диаметром сферы? 3. Расскажите о взаимном расположении сферы и плоскости. 581, 586(б), 587

4 Повторение изученного в курсе планиметрии: а) Что называется касательной к окружности? б) В чем заключается свойство касательной? в) Признак касательной? г) Свойство отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки? А ОО А С В

5 Плоскость, касательная к сфере. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью. Общая точка – точка касания.

6 Свойство касательной плоскости Радиус сферы, проведенной в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

7 О Свойство касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, — касательная плоскость, А – точка касания Доказать: ОА. А Доказательство. Предположим противное: пусть ОА, следовательно, ОА – наклонная к плоскости, значит, расстояние от центра сферы до плоскости меньше ОА, т. е. меньше радиуса R: d

8 О Признак касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, ОА, А. Доказать: — касательная плоскость. А Доказательство. ОА, значит, расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы: d = R, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. данная плоскость является касательной. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

9 П усть шар, радиус которого известен, лежит на горизонтальной плоскости. В этой плоскости через точку касания и точку В проведен отрезок, длина которого известна. Чему равно расстояние от центра шара до противоположного конца отрезка? ? 6

10 Прямая называется касательной, если она имеет со сферой ровно одну общую точку. Такая прямая перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Через любую точку сферы можно провести бесчисленное множество касательных прямых.

11 Дан шар, радиус которого известен. Вне шара взята точка, и через нее проведена касательная к шару. Длина отрезка касательной от точки вне шара до точки касания также известна. На каком расстоянии от центра шара расположена внешняя точка? ? 4

12 Ч ерез точку на сфере, радиус которой задан, проведен большой круг и сечение, пересекающее плоскость большого круга под углом шестьдесят градусов. Найдите площадь сечения. ? π

13 О 592 АР М Дано: сфера(О; R), R=112 см, — касательная плоскость, А – точка касания, Р, АР=15 см, М – точка пересечения РО и сферы. Найти РМ. Решение: ОАР – так как По теореме ОР = РМ = Ответ:

Источники:

http://resh.edu.ru/subject/lesson/4034/conspect/
http://infourok.ru/prezentaciya-po-geometrii-klass-na-temu-kasatelnaya-ploskost-k-sfere-3411616.html
http://www.myshared.ru/slide/1056671

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector